Question

12．不等式ax²+x-1＜0对任意x∈[1，3]成立，则a的范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 不等式ax²+x-1＜0对任意x∈[1，3]成立转化为a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，求出f（t）=t²-t，t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]的最小值即可．

解答 解：不等式ax²+x-1＜0对任意x∈[1，3]成立，
∴ax²＜1-x，
即a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$；
设f（t）=t²-t，t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{3}$，1]；
∴f（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，f（t）取得最小值-$\frac{1}{4}$；
∴a＜-$\frac{1}{4}$，
即a的范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式应用问题，是基础题目