Question

1．如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC，其中AB=BC，横梁AC的长为定值2l，试问：当屋顶面的倾斜角α为多大时，雨水从屋顶（顶面为光滑斜面）上流下所需A的时间最短？

Answer 1

分析 根据物体受力分析知，在竖直方向有F=mgsinα=ma得a=gsinα，在RT△ABD中利用屋面与倾斜角的关系，可得时间关系式，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出t的最小值对应α的值．

解答 解：由图可得∠BAC=α，设AB=s，取AC的中点D，连接BD，
则BD⊥AC，且AD=BD=$\frac{1}{2}AC$，
∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα，（m为质量，g为重力加速度）
∵在RT△ABD中，s=$\frac{AD}{cosα}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
∴t²=$\frac{2AD}{acosα}$=$\frac{AC}{gsinαcosα}$=$\frac{2AC}{gsin2α}$≥$\frac{2AC}{g}$=$\frac{4l}{g}$，
当sin2α=1，即α=45°时等号成立，
∴α=45°，水从屋顶（顶面为光滑斜面）上流下所需的时间最短．

点评 本题考查三角形函数在物理上的应用，考查二倍角正弦公式，正弦函数的性质，解题的关键是寻找时间关于倾斜角的关系式．