Question

9．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面体，设M是底面ABCD中AC与BD的交点，N是侧面BCC₁B₁对角线BC₁上的点，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，设$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，则α、β、γ的值分别为-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，可得$\overrightarrow{MB}$=$-\overrightarrow{BM}$=-$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=-$\frac{1}{2}$$（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$，代入即可得出．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$，且$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{N{C}_{1}}$，
$\overrightarrow{MB}$=$-\overrightarrow{BM}$=-$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=-$\frac{1}{2}$$（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，
$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$+$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}）$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
又$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
则α=-$\frac{1}{2}$，β=$\frac{3}{4}$，γ=$\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了向量共线定理、平面向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．