Question

14．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则z=x+2y取得最大值的最优解为A（a，b），点A在直线2mx+ny=2上，则m²+n²的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 5
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 首先求出z的最大值最优解，然后利用点A在直线2mx+ny=2上得到关于m，n的等式，进一步求m²+n²的最小值．

解答 解：约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$对应的区域如图当直线z=x+2y经过图中A时z最大，
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∵点A在直线2mx+ny=2上
∴$\frac{1}{3}$×2m$+\frac{2}{3}$n=2，即m+n=3，
∴m²+n²=m²+（3-m）²=2m²-6m+9=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
当m=n=$\frac{3}{2}$时，m²+n²有最小值，最小值为$\frac{9}{2}$，
故选B．

点评 本题考查了简单线性规划问题以及利用二次函数求最值；关键是找出z取最优解的A点坐标，得到关于m，n的等式．