Question

19．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a）（a＞0），P是函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2$\sqrt{2}$，则满足条件的正实数a的值为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设点P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），利用两点间的距离公式可得|PA|，令t=x+$\frac{1}{x}$，由x＞0，可得t≥2，令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，讨论a的范围：当0＜a≤2时，当a＞2时，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．

解答 解：设点P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），
则|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}-a）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a}^{2}}$
=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a}^{2}-2}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，由x＞0，可得t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①当0＜a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=（2 $\sqrt{2}$）²，
解得a=-1，3，均舍去；
②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，
可得t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²-2，可得a²-2=（2 $\sqrt{2}$）²，解得a=$\sqrt{10}$（负的舍去）．
综上可知：a=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．