Question

（本小题满分14分）已知函数.

（1）若对都成立，求的取值范围；

（2）已知为自然对数的底数，证明：N，.

Answer 1

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而对的取值范围讨论确定函数在上的单调性，即可得的取值范围；（2）先结合（1），可知当时，对都成立，进而可证，化简，即可证，再结合（1），可知当时，对都成立，进而可证，化简，即可证.

试题解析：（1）【解析】
∵，其定义域为,

∴. 1分

① 当时，，当时，，

则在区间上单调递减，此时，，不符合题意. 2分

② 当时，令，得，，

当时，，则在区间上单调递减，

此时，，不符合题意. 3分

③ 当时，，当时，，

则在区间上单调递增，此时，，符合题意. 4分

④ 当时，令，得，，当时，，

则在区间上单调递增，此时，，符合题意. 5分

综上所述，的取值范围为. 6分

（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，

即对都成立. 7分

∴. 8分

即.

由于N，则. 9分

∴.

∴ . 10分

由（1）可知，当时，对都成立，

即对都成立. 11分

∴. 12分

即.

得

由于N，则. 13分

∴.

∴ . 14分

∴.

考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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