Question

(本小题满分12分)已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．

Answer 1

m＝2.，5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m．   …………2分
当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		极大值		极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m³+m³+m³+1="9,  "                                   …………6分
∴m＝2.                                                   …………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1, 依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，
∴x＝－1或x＝－.                                           …………9分
又f(－1)＝6，f(－)＝，                                  …………10分
所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即所求的直线方程为： 5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0 .      …………12分