Question

20．设复数ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，则z=1+ω+ω²+…+ω²⁰¹²的值为0．

Answer 1

分析 由ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，ω³=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，ω²⁰¹³=1由等比数列的前n项和公式可得z=1+ω+ω²+…+ω²⁰¹²=$\frac{1-{ω}^{2013}}{1-ω}$计算可得答案

解答 解：∵ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴ω²=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴ω³=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=1，
∴ω²⁰¹³=（ω³）⁶⁷¹=1，
∴z=1+ω+ω²+…+ω²⁰¹²=$\frac{1-{ω}^{2013}}{1-ω}$=0，
故答案为：O．

点评 本题为复数的运算和等比数列的前n项和公式的应用，化简复数的代数形式和等比数列的前n项和的应用是解决问题的关键，属中档题．