Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=2EO．求证平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，以向量法能证明平面CDE⊥平面CD₁F

解答： 证明：以DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设棱长为1，C（0，1，0），D₁（0，0，1），O（

1

2

，

1

2

，0），
D（0，0，0），（

1

3

，

1

3

，

1

3

），
设平面CD₁O的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），
由

m

•

D1O

=0，

m

•

CD1

=0，
得

1 2 x1+ 1 2 y1-z1=0 -y1+z1=0

，取x₁=1．
得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．
由

D1E

=2

EO

，得

D1E

=

2

3

D1O

=（

1

3

，

1

3

，-

2

3

），

DE

=

DD1

+

D1E

=（

1

3

，

1

3

，

1

3

）．
又设平面CDE的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），
由

n

•

CD

=0，

n

•

DE

=0，得

y2=0 1 3 x2+ 1 3 y2+ 1 3 z2=0

取x₂=1，得n=（1，0，-1）．
∴

n

•

m

=0，∴平面CDE⊥平面CD₁F．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．