Question

已知f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=e^x-a，令f′（x）≥0，解得e^x≥a．对a分类讨论，即可得出．
（2）f（x）在定义域R内单调递增，可得f′（x）=e^x-a≥0恒成立，即a≤e^x，x∈R恒成立．即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-a，令f′（x）≥0，解得e^x≥a．
当a≤0时，有f′（x）＞0在R上恒成立，此时函数f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x≥lna，此时函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增．
（2）f（x）在定义域R内单调递增，
∴f′（x）=e^x-a≥0恒成立，即a≤e^x，x∈R恒成立．
∵x∈R，∴e^x∈（0，+∞），∴a≤0．
当a=0时，f′（x）=e^x＞0在R上恒成立．
故当a≤0时，f（x）在定义域R内单调递增．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．