Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求证：PQ⊥平面DCQ；
（2）求二面角B-CQ-P的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能证明PQ⊥平面DCQ．
（2）分别求出面BCQ的一个法向量和平面PCQ的一个法向量，由此能求出二面角B-CQ-P的大小．

解答： （1）证明：因为AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，所以DA，DP，DC两两垂直．以D为原点，
DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设AB=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），C（0，0，1），Q（1，1，0），P（0，2，0）．…（1分）

DC

=（0，0，1），

DQ

=(1，1，0)，

PQ

=(1，-1，0)，

DC

•

PQ

=0，

DQ

•

PQ

=0，
故DC⊥PQ，DQ⊥PQ，又DC∩DQ=D，所以PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：

BC

=(-1，0，0)，

BQ

=(0，1，-1)，
设平面BCQ的一个法向量为

n1

．

n1 • BC =-x=0 n1 • BQ =y-z=0

，故

n1

=（0，1，1）．

PC

=(0，-2，1)，

PQ

=(1，-1，0)，设平面PCQ的一个法向量为

n1

．

n2 • PC =-2y+z=0 n2 • PQ =x-y=0

，故

n2

=（1，1，2）．
则cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2 • 6

=

3

2

．
可以判断二面角B-CQ-P是钝角，所以二面角B-CQ-P的大小为

5π

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．