Question

已知抛物线x²=8（y+8）与y轴交点为M，动点P，Q在抛物线上滑动，且

MP

•

MQ

=0
（1）求PQ中点R的轨迹方程W；
（2）点A，B，C，D在W上，A，D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到AB，AC的距离为d₁，d₂，且d₁+d₂=

2

|AD|，若△ABC的面积S=48，求点A的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设为k，设PQ的中点R（x，y），求出P，Q的坐标，继而得到PQ中点R的轨迹方程W．
（2）利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，

解答： 解：（1）显然直线MP的斜率存在且不为0，设为k，设PQ的中点R（x，y），
∴直线MP：y=kx-8与x²=8（y+8）联立解得：P（8k，8k²-8），
同理：Q（-

8

k

，

8

k2

-8），
∴PQ的中点R（4k-

4

k

，4k²+

4

k2

-8），
∴

x=4k- 4 k y=4k2+ 4 k2 -8

  
∴轨迹方程：x²=4y，
（2）由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
设D（x₀，

1

4

x02），C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22）则A（（-x₀，

1

4

x02），
∴K_BC=

1

4

（ x₁+x₂）=

1

2

x₀，
∴x₁+x₂=2x₀，
∴k_AC=

1

4

（x₁-x₀）
又K_AB=

1

4

（x₀-x₁）
∴k_AC=-k_AB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴d₁=d₂，
又d₁+d₂=

2

AD得sin∠DAC=

2

2

，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
设AB：y-

1

4

x02=-（x+x₀），与抛物线联立得：B（ x₀-4，

1

4

（x₀-4）²）
同理：C（ x₀+4，

1

4

（x₀+4）²）
∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=

2

|2x₀-4|，
同理：|AC|=

2

|2x₀+4|，
∴S_△ABC=

1

2

|AB||AC|=48，代入得：A（4，4）或（-4，4）．

点评：本题考查了熟练掌握导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式即可得出，属于中档题．