Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nloga_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，可得数列{a_n}是以2为公比的等比数列，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项，求出公比，即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，求出S_n，要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即可求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解答： 解：（1）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，则2a₁+8a₁=8a₁+4，即a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；                   …（5分）
（2）由（1）及b_n=-a_nlog₂a_n得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴-n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（8分）
=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2                   …（10分）
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n＞5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．