Question

C

2 2

+C

2 3

+C

2 4

+…+C

2 10

=

 

．已知A

5 n

=56C

7 n

，则n=

 

．

Answer 1

考点：组合及组合数公式

专题：排列组合

分析：利用组合数公式的性质C_n+1³-c_n³=C_n²，可得 C₂²+C₃²+C₄²+…+

C

2 10

=C₃³ +（C₄³-C₃³）+（C₅³-C₄³）+…+（C₁₁³-C₁₀³），化简得到结果；
直接展开排列数公式和组合数公式化简求解n的值．

解答： 解：∵C_n+1³-c_n³=C_n²，
∴C

2 2

+C

2 3

+C

2 4

+…+C

2 10

=C₃³ +（C₄³-C₃³）+（C₅³-C₄³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）=C₁₁³ ；
由A

5 n

=56C

7 n

，得

n!

(n-5)!

=56

n!

7!•(n-7)!

，即（n-5）（n-6）=90，解得：n=15或n=-4（舍）．
故答案为：

C

3 11

，15．

点评：本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C_n+1³-c_n³=C_n²，即C_n² +c_n³ =C_n+1³，属于基础题．