Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：A₁C₁∥平面AB₁C．
（2）求证：AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结A₁C₁，则A₁C₁∥AC，由此能证明A₁C₁∥平面AB₁C．
（2）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得DD₁⊥AC，由此能证明AC⊥平面B₁BDD₁．

解答： 证明：（1）连结A₁C₁，则A₁C₁∥AC，
∵A₁C₁不包含于平面AB₁C，AC?平面AB₁C，
∴A₁C₁∥平面AB₁C．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
又DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面B₁BDD₁．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线民平面垂直的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．