Question

若满足方程：x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t²+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程；
（3）若点P（3，4t²）恒在所给的圆内，求t的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）已知方程可化为（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t⁴-9，由此能求出t的取值范围．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，由此能求出r_max=

4 7

7

，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．
（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3-3）²+（4t²-1-4t²）²＜-7t²+6t+1，由此能求出0＜t＜

3

4

．

解答： 解：（1）已知方程可化为：
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（1-4t²）²-16t⁴-9
∴r²=-7t²+6t+1＞0，即7t²-6t-1＜0，
解得-

1

7

＜t＜1，
t的取值范围是（-

1

7

，1）．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，
当t=

3

7

∈（-

1

7

，1）时，
r_max=

4 7

7

，
此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x-

24

7

）²+（y+

13

49

）²=

16

7

．
（3）圆心的坐标为（t+3，4t²-1）．
半径 r²=（t+3）²+（1-4t²）²-（16t⁴+9）=-7t²+6t+1
∵点P恒在所给圆内，
∴（t+3-3）²+（4t²-1-4t²）²＜-7t²+6t+1，
即4t²-3t＜0，
解得0＜t＜

3

4

．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．