Question

函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，1-

  2

  ）
• B、[-

  1

  2

  ，1-

  2

  ]
• C、（-∞，1-

  2

  ）
• D、（-∞，1-

  2

  ）∪（1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：令t=e^x，则t＞0，则函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1的解析式可化为y=g（t）=

1

3

t3+mt2+(2m+1)t+1，则函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，可化为g′（t）=t²+2mt+2m+1=0有两个正根，进而构造关于m的不等式组，解不等式组，可得实数m的取值范围．

解答： 解：令t=e^x，则t＞0，
则y=f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1，可化为：
y=g（t）=

1

3

t3+mt2+(2m+1)t+1，
则g′（t）=t²+2mt+2m+1，
若函数f（x）=

1

3

e^3x+me^2x+（2m+1）e^x+1有两个极值点，
则g′（t）=t²+2mt+2m+1=0有两个正根，
∴

△=4m2-4(2m+1)＞0 -m＞0 2m+1＞0

，
解得：m∈（-

1

2

，1-

2

），
故选：A

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，运算量大，转化复杂，属于中档题．