Question

已知（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，其中a₀，a₁，…a₅₀是常数，计算：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₅₀；
（2）a₀+a₂+…+a₅₀；
（3）a₁₀；
（4）（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）²．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）在所给的二项展开式中，令x=1，即可求得a₀+a₁+a₂+…+a₅₀ 的值．
（2）在所给的二项展开式中，令x=1，即可求得a₀-a₁+a₂ -a₃+…+a₅₀ 的值．
（3）a₁₀ 即（2-

3

x）⁵⁰的展开式中x¹⁰的系数，再利用通项公式求得 a₁₀ 的值．
（4）把（1）、（2）得到的等式相乘可得 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）² =（2-

3

）⁵⁰ •（2+

3

）⁵⁰=[(2-

3

)(2+

3

)]50，计算可得结果．

解答： 解：（1）在（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰ 中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₅₀ =（2-

3

）⁵⁰ ①．
（2）在（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰ 中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂ -a₃+…+a₅₀ =（2+

3

）⁵⁰ ②，
把①、②相加并处以2，求得a₀+a₂+…+a₅₀ =

(2- 3 )50+(2+ 3 )50

2

 ③．
（3）a₁₀ 即（2-

3

x）⁵⁰的展开式中x¹⁰的系数，∴a₁₀=

C

10 50

•2⁴⁰•(-

3

)10．
（4）把①、②相乘可得，（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+…+a₄₉）² =（2-

3

）⁵⁰ •（2+

3

）⁵⁰=[(2-

3

)(2+

3

)]50=1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题．