Question

如图，平面四边形ABCD的4个顶点都在球O的表面上，AB为球O的直径，P为球面上一点，且PO⊥平面ABCD，BC=CD=DA=2，点M为PA的中点．
（1）证明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先根据平行线的传递性证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行．
（2）设点A到平面PBC的距离为h．由图可知V_P-ABC=V_A-PBC，利用体积公式计算即可．

解答： 解．（1）证明：∵AB为球O的直径，BC=CD=DA=2，
∴AB∥CD，CD∥BO，且CD=BO，
即四边形OBCD为平行四边形，
∴BC∥OD．
∵AO=BO，AM=PM，
∴OM∥PB，
∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，
∵OD∩OM=O，0D?平面ODM，OM?平面ODM，
∴平面ODM∥平面PBC
（2）设点A到平面PBC的距离为h．由图可知V_P-ABC=V_A-PBC，
即

1

3

×

1

2

×2×2

3

×2=

1

3

×

1

2

×2×

7

×h
则h=

4 21

7

，
即点A到平面PBC的距离为

4 21

7

．

点评：本题考查平面与平面平行的判定以及点到平面的距离，属于中档题．