Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且

b2+c2-a2

2

=

8

3

S_△ABC（其中S_△ABC为△ABC的面积）．
（Ⅰ）求sin²

B+C

2

+cos2A；
（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为3，求a．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，利用三角形面积公式表示出S_△ABC，变形后代入已知等式得到3cosA=4sinA，利用同角三角函数间基本关系求出sinA与cosA的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即

b2+c2-a2

2

=bccosA，S_△ABC=

1

2

bcsinA，且

b2+c2-a2

2

=

8

3

S_△ABC，
∴bccosA=

8

3

×

1

2

bcsinA，即3cosA=4sinA＞0，
∵sin²A+cos²A=1，
∴sinA=

3

5

，cosA=

4

5

，
则原式=cos²

A

2

+cos2A=

1+cosA

2

+2cos²A-1=

1+ 4 5

2

+2×

16

25

-1=

59

50

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=

3

5

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，b=2，
∴c=5，
由余弦定理得：a²=2²+5²-2×2×5×

4

5

=4+25-16=13，
则a=

13

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．