Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1

2

（a_n²+a_n），a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

n

2n-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数m，使得m≤T_n＜m+3，对任意正整数n恒成立，若存在，求出m值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把题目给出的数列递推式变形，取n=1时求得首项，取n=n-1时得到另一递推式，作差后整理得到数列{a_n}是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，求出T_n是单调增函数，得到T_n的取值范围，则答案可求．

解答： 解：（1）由S_n=

1

2

（a_n²+a_n），得an2+an-2Sn=0，
当n≥2时，an-12+an-1-2Sn-1=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．
当n=1时，a12+a1-2a1=0，
∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n；
（2）∵bn=

n

2n-1

，
∴Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1．
∴

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
故

1

2

Tn=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n．
∴Tn=4[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n=4-(2n+4)(

1

2

)n．
易知T_n＜4，
又∵Tn+1-Tn=4-(2n+6)(

1

2

)n+1-4+(2n+4)(

1

2

)n=(

1

2

)n(n+1)＞0．
∴T_n≥T₁=1，故存在正整数m=1满足题目要求．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．