Question

设C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；椭圆C₂以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

．设P是C₁，C₂的一个交点．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过C₂的右焦点F₂，与C₁交于A₁，A₂两点，且|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的方程；
（3）求所有正实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续正整数．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）m=1时，F₂（1，0），由此能求出椭圆方程3x²+4y²=12．
（2）l：y=k（x-1），联立消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦长公式能求出直线的斜率，问题得以解决．
（3）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m．由此能推导出使得三角形PF₁F₂的边长是连续正整数的m的值．

解答： 解．（1）∵y²=4mx（m＞0），
∴m=1时，F₂（1，0），
∵c=1，e=

1

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
故椭圆C₂的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
即3x²+4y²=12．
（2）依题意知直线l存在斜率，设l：y=k（x-1），联立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∵直线l与抛物线C₁有两个交点，∴k≠0，
设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中点M（x，y），
由韦达定理得x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1，
则|A₁A₂|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(1+k2)

k2

三角形PF₁F₂的周长=2a+2c=6，
∴

4(1+k2)

k2

=6，
解得k=±

2

，
∴y=

2

x-

2

）或y=-

2

x+

2

，
（3）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
设P（x₀，y₀），对于抛物线C₁，r₂=x₀+m；
对于椭圆C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r₂=

1

2

（4m-x₀），
∴x₀+m=

1

2

（4m-x₀），
解得x₀=

2

3

m，
∴r₂=

5

3

m，从而 r₁=

7

3

m，
因此，三角形PF₁F₂的边长分别是

5

3

m，

6

3

m，

7

3

m，
当m=3时，边长为5，6，7符合题意，
当m=3的倍数，均不适合．
故正实数m=3，使得△PF₁F₂的边长是连续正整数．

点评：本题考查直线斜率的求法，考查使得三角形周长是连续正整数的求法．解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，属于难题．