Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=

1

2

，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂的内切圆面积的最大值为

4π

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，满足向量

F1A

与

F1C

共线，

F1B

与

F1D

共线，且

AC

•

BD

=0，求|

AC

|+|

BD

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据，△PF₁F₂的内切圆面积的最大值为

4π

3

．求得r=

2 3

3

，再根据△PF₁F₂的周长为定值，以及离心率，求得a，b的值，问题得以解决．
（2）分两类讨论，斜率不存在，斜率存在，当斜率存在时根据弦长公式得到|

AC

|+|

BD

|=

168

12+ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2

，再利用换元法，求得取值范围

解答： 解：（1）由几何性质可知，当，△PF₁F₂的内切圆面积的最大值时，
即，S_△PF1F2取最大值，且（S_△PF1F2）_max=

1

2

•2c•b=bc，
由πr2=

4

3

π，解得r=

2 3

3

，
又由△PF₁F₂的周长为2a+2c定值，
∴

bc

2a+2c

=

2 3

3

，
又e=

c

a

=

1

2

，
可得a=2c，即b=2

3

，
∴c=2，b=2

3

，a=4，
故椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
（2）①当直线AC和BD中有一条垂直x轴时，|

AC

|+|

BD

|=6+8=14，
②当直线AC的斜率存在但不为0时，设AC的方程为：y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2 16 + y2 12 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，代入弦长公式得，|

AC

|=

24(k2+1)

3+4k2

，
同理由

y=- 1 k (x+2) x2 16 + y2 12 =1

，消去y，代入弦长公式得|

BD

|=

24(k2+1)

3k2+4

，
∴|

AC

|+|

BD

|=

168(k2+1)2

(3+4k2)(4+3k2)

=

168

12+ 1 k2+1 - 1 (k2+1)2

，
令

1

k2+1

=t∈（0，1），
则-t²+t+12∈[

96

7

，14），
由①②可知|

AC

|+|

BD

|的取值范围是[

96

7

，14]．

点评：本题考查了椭圆方程的求法、直线与椭圆相交问题、弦长公式即可得出，考查了学生的计算能力，属于中档题．