Question

17、如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F分别为线段AC₁，A₁C₁的中点．
（1）求证：EF∥面BCC₁B₁； 
（2）求证：BE⊥面AB₁C₁；
（3）在线段BC₁上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB₁A₁，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：EF∥A₁A，所以可得EF∥B₁B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）根据题意可得：BC⊥平面ABC₁，进而得到BE⊥BC，即得到BE⊥B₁C₁，因为AB=BC₁，E为AC₁的中点，所以BE⊥AC₁，由线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（3）取BC₁中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GE∥AB，所以EG∥平面A₁B₁BA．同理可证：EF∥平面A₁B₁BA．再根据面面平行的判定定理可得面面平行．

解答：证明：（1）因为E，F分别为线段AC₁，A₁C₁的中点，
所以EF∥A₁A．
因为B₁B∥A₁A，
所以EF∥B₁B．
又因为EF?平面BCC₁B₁，B1B?BCC₁B₁，
所以EF∥面BCC₁B₁．
（2）因为BC⊥BC₁，AB⊥BC，AB∩C₁B=B，
所以BC⊥平面ABC₁．
因为BE?平面ABC₁，所以BE⊥BC．
又因为BC∥B₁C₁，所以BE⊥B₁C₁．
因为AB=BC₁，E为AC₁的中点，
所以BE⊥AC₁．
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，
所以BE⊥面AB₁C₁．
（3）取BC₁中点为G，连接GE、GF，
又因为E为AC₁的中点，
所以GE∥AB．
因为EG?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
所以EG∥平面A₁B₁BA．
同理可证：EF∥平面A₁B₁BA．
又因为EF∩EG=E，
所以平面EFG∥平面ABB₁A₁．
所以在线段BC₁上是存在一点G，使平面EFG∥平面ABB₁A₁．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理．