Question

3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（ I）求角A的值．
（ II）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （I）利用向量共线的性质，正弦定理，三角函数恒等变换的规律可求2sinBcosA-sinB=0，结合sinB≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，进而可求A的值．
（II）利用三角形面积公式可求a²=bc，利用余弦定理可求b²+c²-a²=bc，联立解得b=c，结合A=$\frac{π}{3}$，即可得解△ABC是等边三角形．

解答 （本题满分为12分）
解：（ I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2bcosA-ccosA-acosC=0，…（2分）
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，…（3分）
∴2cosBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，…（4分）
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（ II）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}bc}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴a²=bc，…（7分）
在△ABC中，∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²=bc，…（9分）
又∵a²=bc，
∴b²+c²-2bc=0，（b-c）²=0，…（11分）
∴b=c，
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等边三角形．…（12分）

点评 本题主要考查了向量共线的性质，正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．