Question

16．已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前7项和为70，且a₃为a₁和a₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*且b₁=2，求数列$\{\frac{1}{b_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），通过前7项和为70、且a₃为a₁和a₇的等比中项，可得首项和公差，计算即可；
（II）通过递推可得b_n=n（n+1），从而$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用并项法即得结论．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+21d=70}\\{{a}_{1}•（{a}_{1}+6d）=（{a}_{1}+2d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{{a}_{1}=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n+2；
（II）∵b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1=2n  （n≥2，n∈N^*），
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和，考查递推公式，利用并项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．