Question

12．如图，四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求三棱锥APDE的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PD⊥AD，AD⊥DC，由线面垂直的判定得AD⊥平面PDC，则AD⊥PC；
（2）由已知求解直角三角形可得DE=PE=$2\sqrt{2}$，从而求得△PED的面积，再由三棱锥体积公式求得三棱锥A-PDE的体积．

解答 （1）证明：如图，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又底面ABCD为矩形，∴AD⊥DC，
又PD∩DC=D，∴AD⊥平面PDC，则AD⊥PC；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
又PD=DC=4，E为PC的中点，∴DE⊥PE，且DE=PE=$2\sqrt{2}$，
则${S}_{△PED}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
又由（1）知，AD⊥平面PDE，且AD=2，
∴三棱锥A-PDE的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△PED}•AD=\frac{1}{3}×4×2=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的判定，考查多面体体积的求法，是中档题．