Question

7．已知函数f（x）=lnx-x²+ax+2，g（x）=x³-x²-3．
（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线平行于x轴，求函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值；
（2）对于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，则f′（1）=1-2+a=0，解得a=1．f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，利用导数研究I其单调性即可得出．
（2）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$）0，x∈[1，2]，利用函数g（x）在x∈[1，2]上单调性，可得x=2时函数g（x）取得最大值，g（2）=1．由对于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，?f（x）_min≥g（x）_max=1，x∈[1，2]，?可得lnx-x²+ax+1≥0，在x∈[1，2]上恒成立，a≥x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．令h（x）=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．利用导数研究函数的单调性可得最大值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+a，则f′（1）=1-2+a=0，解得a=1．
f（x）=lnx-x²+x+2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$≤0，x∈[1，2]．
∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减．
∴f（x）_min=f（2）=ln2，f（x）_max=f（1）=2．
（2）g′（x）=3x²-2x=3x（x-$\frac{2}{3}$）＞0，x∈[1，2]，
可得：函数g（x）在x∈[1，2]上单调递增，∴x=2时函数g（x）取得最大值，g（2）=1．
由对于任意的x₁，x₂∈[1，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，?f（x）_min≥g（x）_max=1，x∈[1，2]，
∴lnx-x²+ax+1≥0，在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．
令h（x）=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，2]．
h′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+lnx}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数h（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴x=2时，函数h（x）取得最大值，h（2）=2-$\frac{1}{2}-\frac{ln2}{2}$=$\frac{3-ln2}{2}$．
∴a≥$\frac{3-ln2}{2}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{3-ln2}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．