Question

16．已知正实数x，y满足2＜2x+y＜4，则x²+y²的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{4}{5}，16}）$
• B． $（{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，16}）$
• C． （1，16）
• D． （1，4）

Answer 1

分析 满足正实数x，y满足2＜2x+y＜4表示的区域为如图所示梯形ABCD，不包括边界．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：满足正实数x，y满足2＜2x+y＜4表示的区域为如图所示梯形ABCD，不包括边界．
点O到直线2x+y=2的距离d₁=$\frac{|0+2|}{\sqrt{5}}$，
又|OP|＜|OC|=4．
则x²+y²的取值范围是（${d}_{1}^{2}$，4²），即$（\frac{4}{5}，16）$．
故选：A．

点评 本题考查了线性规划、方程与不等式的解法、数形结合方法、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．