Question

13．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果$\overrightarrow{AB}$=（2，-1，-4），$\overrightarrow{AD}$=（4，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，2，-1）
（1）求证：$\overrightarrow{AP}$是平面ABCD的法向量
（2）求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$=0，得到$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AD}$，由此能证明$\overrightarrow{AP}$是平面ABCD的法向量．
（2）求出cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{3\sqrt{105}}{105}$，从而sin∠BAD=$\sqrt{\frac{32}{35}}$，平行四边形ABCD的面积S=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|sin∠BAD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
$\overrightarrow{AB}$=（2，-1，-4），$\overrightarrow{AD}$=（4，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，2，-1）
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-2-2+4=0，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$=-4+4+0=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{AD}$，
∴AP⊥AB，AP⊥AD，
∵AB∩AD=A，∴AP⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}$是平面ABCD的法向量．
解：（2）∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{4+1+16}$=$\sqrt{21}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{16+4+0}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=8-2+0=6，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}×2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{105}$，
∴sin∠BAD=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{105}}{105}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{32}{35}}$，
∴平行四边形ABCD的面积：
S=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|sin∠BAD=8$\sqrt{6}$．

点评 本题考查平面的法向量的证明，考查平行四边形的面积的求法，考查平面的法向量、向量余弦夹角公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．