Question

16．给出下列命题：
（1）已知两平面的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），则两平面所成的二面角为45°或135°；
（2）若曲线$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（3）已知双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．
其中正确命题的序号是（1）（2）（3）．

Answer 1

分析 运用向量夹角公式可得两平面所成二面角的大小，即可判断（1）；
由双曲线标准方程，可得（4+k）（1-k）＜0，即可判断（2）；
设出过P的直线方程，联立双曲线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得k=2，再由判别式大于0即可判断（3）．

解答 解：对于（1），两法向量的夹角为cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
即有两平面所成的二面角为45°或135°，故（1）正确；
对于（2），曲线$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示双曲线，则（4+k）（1-k）＜0，解得k＞1或k＜-4，
故（2）正确；
对于（3），设过P（1，1）点的直线AB方程为y-1=k（x-1），
代入双曲线方程得
（2-k²）x²-（2k-2k²）x-（k²-2k+3）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{2k-2{k}^{2}}{2-{k}^{2}}$，
由已知$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x_p=1，
∴$\frac{2k-2{k}^{2}}{2-{k}^{2}}$=2．解得k=2．
又k=2时，△=（4-8）²+2（2-4）（4-4+3）=4＞0，
从而直线AB方程为2x-y-1=0．
故（3）正确．
故答案为：（1）（2）（3）．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，考查两平面所成二面角的求法，考查化简运算能力，属于中档题．