Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+b}$（b≠0且b是常数）．
（1）如果方程f（x）=x有唯一解，求b值．
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（3）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求负数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据方程f（x）=x有唯一解，可得b的值；
（2）求导，根据当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（3）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，则f′（x）=$\frac{b}{{（x+b）}^{2}}$＜0在（1，+∞）上恒成立，解得负数b的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x有唯一解 即$\frac{x}{x+b}$=x有唯一解，
∴x²+（b-1）x=0有唯一解，又b≠0，
∴△=（b-1）²=0解得b=1；
证明：（2）∵由（1）得函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（3）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，
则f′（x）=$\frac{b}{{（x+b）}^{2}}$＜0在（1，+∞）上恒成立，
且恒有意义，
故$\left\{\begin{array}{l}b＜0\\-b∉（1，+∞）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b＜0\\-b≤1\end{array}\right.$
解得：-1≤b＜0．

点评 本题考查的知识点是待定系数法求函数的解析式，利用导数法研究函数的单调性，难度中档．