Question

10．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=$\frac{3}{5}$$\sqrt{t}$，Q=$\frac{1}{5}$t．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（万元）．求：
（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润y达到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ利润函数为y=甲商品所得的利润P+乙商品所得的利润y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．由二次函数的性质，得函数的最大值以及对应的x值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，得y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x），x∈[0，3]．…（5分）
（Ⅱ）y=$\frac{3}{5}\sqrt{x}$+$\frac{1}{5}$（3-x）=-$\frac{1}{5}（\sqrt{x}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{20}$．
∵$\frac{3}{2}∈[0，3]$，∴当$\sqrt{x}$=$\frac{3}{2}$时，即x=$\frac{9}{4}$，3-x=$\frac{3}{4}$时，y_max=$\frac{21}{20}$．
即给甲、乙两种商品分别投资$\frac{9}{4}$万元、$\frac{3}{4}$万元可使总利润达到最大值$\frac{21}{20}$万元．…（12分）

点评 本题考查了可化为二次函数模型的根式函数的应用，确定函数的解析式是关键，本题属于基础题．