Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD=$\sqrt{3}$，AB=AD，E为PC的中点．
（1）求证：BC⊥AB；
（2）求AB的长；
（3）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，推导出PA⊥BC，BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥BC．
（2）推导出AB⊥BC，∠ABD=30°，由此能求出AB．
（3）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．

解答 证明：（1）连结AC，
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵BC⊥PB，PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，
∵AB?平面PAB，
∴AB⊥BC．
解：（2）由（1）知AB⊥BC，
∵△BCD为等边三角形，∴∠ABD=30°，
又AB=AD，$BD=\sqrt{3}$，
解得AB=1．
（3）分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
$P（0，1，\sqrt{3}）$，$C（\sqrt{3}，0，0）$，$E（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$D（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$．
由题意可知平面PAB的法向量$\overrightarrow m=（1，0，0）$，
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{BD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{3}{2}y=0\end{array}\right.$，
取x=3，得$\overrightarrow n=（3，-\sqrt{3}，-2）$，
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{3×1-\sqrt{3}×0-2×0}}{{\sqrt{{3^2}+{{（-\sqrt{3}）}^2}+{{（-2）}^2}}}}=\frac{3}{4}$，
∴平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．