Question

16．已知定义在[-1，1]的函数满足f（-x）=-f（x），当a，b∈[-1，0）时，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

Answer 1

分析 先根据条件得到函数的奇偶性，再结合条件求出函数在[-1，1]上的单调性，最后根据单调性建立关系式求解即可．

解答 解：∵函数f（x）满足f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
又∵当a，b∈[-1，0）时，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
∴函数f（x）在[-1，0）上单调递增函数
根据奇函数的性质可知函数f（x）在[-1，1]上单调递增函数
∵f（m+1）＞f（2m），
∴-1≤2m＜m+1≤1，
∴$-\frac{1}{2}≤m≤0$．
故答案为$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

点评 本题主要考查了函数的单调性的应用，以及函数奇偶性的应用，属于中档题．