Question

5．已知圆O：x²+y²=4与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．

解答 解：不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），
由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$，
两边平方，可得（x²+y²+4）²-16x²=（x²+y²）²，
化简整理可得，x²-y²=2．
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于点P在圆O内，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜4}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
由此得y²＜1．
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为[-2，0）．

点评 此题主要考查圆的标准方程，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．