Question

函数f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：y=f（x）在[0，+∞）上是增加的．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性和单调性解答即可．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函数，
所以f（-x）+f（x）=0，即

2-x-a

2-x+1

+

2x-a

2x+1

=0，
解得：a=1，
（2）因为函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x1）-f（x2）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）＜（f（x₂），
∴y=f（x）在[0，+∞）上是增加的

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．