Question

已知函数 ().

（1）若,求函数的极值;

（2）设．

① 当时,对任意,都有成立,求的最大值;

② 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.

 

Answer 1

（1）参考解析； （2）①－1－e－1，②(－1,+∞)

【解析】

试题分析：（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论

（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.

②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝ (x＞1)的单调性即可得到结论.

（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)ex,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).

所以f ′(x)＝ex. 2分

令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0,)		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.

因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,

所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分

记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.

当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;

当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;

所以b的最大值为－1－e－1. 9分

解法二：因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.

因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，

所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分

g′(x)＝(1＋)ex＋(x－－2)ex＝．

因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分

因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，

所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1

因此b的最大值为－1－e－1. 9分

②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分

因为a＞0,所以＝.

设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．

因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,

所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分

解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分

设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)

u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0

此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b

因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立

所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分

当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x0)＝b＞0,

又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x0)上必有零点

即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分

综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分

考点：1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.