Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinA，sinB，sinC成等差数列，
（1）若c=2a，证明△ABC为钝角三角形；
（2）若acosB-bcosA=c，且△ABC的外接圆半径为5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质及正弦定理可得2b=a+c，又c=2a，可解得△ABC中的最大边为c，最大角为∠C，由余弦定理可得cos∠C＜0，即可求得△ABC为钝角三角形．
（2）由正弦定理化简可得2cosAsinB=0，结合A，B的范围可求$A=\frac{π}{2}$，由题意可得斜边a=10，由勾股定理及已知可求b，c，从而可求三角形面积．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴2sinB=sinA+sinC，即2b=a+c…（2分）
又c=2a，则由$\left\{\begin{array}{l}2b=a+c\\ c=2a\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}a\\ c=2a\end{array}\right.$，…（4分）
即△ABC中的最大边为c，最大角为∠C
又∵cos∠C=$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{a^2}+{{（{\frac{3}{2}a}）}^2}-{{（{2a}）}^2}}}{{2a•\frac{3a}{2}}}=-\frac{1}{4}＜0$，…（6分）
且∠C∈（0，π），∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形 …（7分）
（2）∵acosB-bcosA=c，∴sinAcosB-cosAsinB=sinC，
即sinAcosB-cosAsinB=sin（A+B），…（9分）
也即sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
则2cosAsinB=0，
又在△ABC中，sinB≠0
所以cosA=0，又A∈（0，π），则$A=\frac{π}{2}$，…（11分）
在RT△ABC中，∵△ABC的外接圆半径为5，∴斜边a=10
又$\left\{\begin{array}{l}2b=10+c\\{b^2}+{c^2}={10^2}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}b=8\\ c=6\end{array}\right.$，
即${S_{直角三角形ABC}}=\frac{1}{2}bc=24$…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．