Question

7．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=$\frac{ax}{1+x}$（x≥0），若f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 由f（x）≥g（x）转化为（x+1）ln（x+1）-ax≥0，令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，对h（x）求导，利用函数的单调性和最值进行求解即可．

解答 解：∵f（x）≥g（x），
∴ln（1+x）≥$\frac{ax}{1+x}$，
即（x+1）ln（x+1）-ax≥0成立，
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
对函数h（x）求导数：h′（x）=ln（x+1）+1-a
令h′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）当a≤1时，对所有x＞0≥e^a-1-1，h′（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，
又h（0）=0，所以对x≥0，都有h（x）≥h（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，e^a-1-1）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，都有h（x）＜h（0），
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了导数在最大值最小值问题中的应用，考查了利用函数的导函数判断函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，题目难度较大．