Question

设函数f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x²-x-1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．

Answer 1

（1）当p=1时，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；
（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）=xlnx+p（x²-1），
则xlnx+p（x²-1）≤0，
设g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，
故只须g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1时是减函数即可，
又因为g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，
即p≤-

lnx+1

2x

在x≥1时恒成立，
由于(-

lnx+1

2x

)′=

lnx

2x

=0时，x=1，得 当x=1时，-

lnx+1

2x

取最小值-

1

2

，
∴p≤-

1

2

．