Question

已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且.
⑴证明：数列是等比数列，并写出通项公式；
⑵若对恒成立，求的最小值；
⑶若成等差数列，求正整数的值.

Answer 1

（1）证明见解析，；（2）3；（3）

解析试题分析：（1）要证数列是等比数列，可根据题设求出，当然也可再求，虽然得出的成等比数列，但前面有限项成等比不能说明所有项都成等比，必须严格证明．一般方法是把已知式中的用代换得到，两式相减得，这个式子中把用代换又得，两式再相减，正好得出数列的前后项关系的递推关系，正是等比数列的表现．（2）由题间，对不等式用分离参数法得，求的最小值就与求的最大值（也只要能是取值范围）联系起来了．（3）只能由成等差数列列出唯一的等式，这个等式是关于的二元方程，它属于不定方程，有无数解，只是由于都是正整数，利用正整数的性质可得出具体的解．
试题解析：（1）当n=1时，；当n=2时，
当n3时，有 得：
化简得：    3分
又   ∴
∴是1为首项，为公比的等比数列
      6分
（2）
∴   ∴      11分
（3）若三项成等差，则有
，右边为大于2的奇数，左边为偶数或1，不成立
∴      16分
考点：（1）等比数列的通项公式；（2）不等式恒成立与函数的最值；（3）不定方程的正整数解问题．