Question

11．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别  是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 8π
• B． 6π
• C． 11π
• D． 5π

Answer 1

分析 把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．

解答 解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：$\sqrt{1+1+4}$=$\sqrt{6}$．
∴球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴球的表面积为$4π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π．
故选：B．

点评 本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．