Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+ax-2b，其图象过点（2，-4），且f′（1）=-3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=xlnx+f（x），求曲线h（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得f（2）=-4，代入f（x）解析式，求出f（x）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=-1；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（2）=-4，
即为4a+2a-2b=-4，
又f′（x）=2ax+a，可得f′（1）=3a=-3，
解方程可得a=b=-1；
（Ⅱ）函数h（x）=xlnx+f（x）
=xlnx-x²-x+2，
导数h′（x）=lnx+1-2x-1=lnx-2x，
即有曲线h（x）在x=1处的切线斜率为ln1-2=-2，
切点为（1，0），
则曲线h（x）在x=1处的切线方程为y-0=-2（x-1），
即为2x+y-2=0．

点评 本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程的点斜式方程是解题的关键．