Question

13．如图1．已知抛物线E的顶点O在坐标原点，焦点在y轴正半轴上，准线与y轴的交点为T．过点T作圆C：x²+（y-2）²=1的两条切线，两切点分别为D，G，且|DG|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
（1）求抛物线E的标准方程：
（2）如图2，过抛物线E的焦点F任作两条互相垂直线l₁，l₂，分别交抛物线E于P，Q两点和M，N两点，A，B分别为线段PQ和MN的中点．求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），|CT|=2+$\frac{p}{2}$，再利用射影定理，即可求抛物线E的方程；
（2）设l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别令直线PQ，MN与抛物线E联立方程组，求出A点和B点坐标，从而求出|AB|和O到AB的距离，求出△AOB面积，由此利用均值定理能求出△AOB面积的最小值．

解答 解：（1）设抛物线的方程为x²=2py（p＞0），|CT|=2+$\frac{p}{2}$
设CT与DG交于E，则CE=$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
∴1=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{p}{2}$），
∴p=2，
∴抛物线E的标准方程为x²=4y；
（2）根据题意得l₁，l₂斜率存在
设l₁：y=kx+1，l₂：y=-$\frac{1}{k}$x+1
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，∴y₁+y₂=4k²+2，
∴A（2k，2k²+1）
同理可得B（-$\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}$+1）
∴直线AB的方程为y-（2k²+1）=（k-$\frac{1}{k}$）（x-2k），即（k-$\frac{1}{k}$）x-y+4=0，
∴O到AB的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}-1}}$，
∵|AB|=2|k+$\frac{1}{k}$|$\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}-1}$，
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=4|k+$\frac{1}{k}$|≥8，
当且仅当k=±1时，△AOB面积的最小值为8．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．