Question

12．以下四个命题：
①若命题“?p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
②若x≠kπ（k∈Z），则$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$；
③?x₀∈R，使$ln（{x_0^2+1}）＜0$；
④由曲线$y=x，y=\frac{1}{x}，\left|x\right|=2$围成的封闭图形的面积为$\frac{3}{2}-ln2$．
其中真命题的序号是①（把你认为真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①若命题“?p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，命题q一定是真命题，即可判断出正误；
②取x=-$\frac{π}{2}$，则sinx+$\frac{1}{sinx}$=-1，即可判断出正误；
③?x∈R，使ln （x²+1）≥0，即可判断出正误；
④联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，解得（1，1），（-1，-1）．由曲线$y=x，y=\frac{1}{x}，\left|x\right|=2$围成的封闭图形的面积=2${∫}_{1}^{2}（x-\frac{1}{x}）dx$=2$（\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx）{|}_{1}^{2}$，解出即可判断出正误．

解答 解：①若命题“?p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，命题q一定是真命题，正确；
②若x≠kπ（k∈Z），取x=-$\frac{π}{2}$，则sinx+$\frac{1}{sinx}$=-1，不正确；
③?x∈R，使ln （x²+1）≥0，因此不正确；
④联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，解得（1，1），（-1，-1）．由曲线$y=x，y=\frac{1}{x}，\left|x\right|=2$围成的封闭图形的面积=2${∫}_{1}^{2}（x-\frac{1}{x}）dx$=2$（\frac{1}{2}{x}^{2}-lnx）{|}_{1}^{2}$=3-2ln2，不正确．
故答案为：①．

点评 本题考查了函数的性质、微积分基本定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．