已知椭圆经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程.
(1) .(2)
.
解析试题分析:(1) 由已知建立方程组 ①
②, 即得解.
(2)两种思路,一是讨论①当直线的斜率为0,②当直线
的斜率不为0的情况;二是讨论①当直线
垂直于x轴,②当直线
与x轴不垂直的情况.两种情况的不同之处在于,直线方程的灵活设出.
第一种思路可设直线的方程为
, 第二种思路可设直线
的方程为
.两种思路下,都需要联立方程组,应用韦达定理,简化解题过程.
本题是一道相当典型的题目.
试题解析:(1) 由已知可得,所以
① 1分
又点在椭圆
上,所以
② 2分
由①②解之,得.
故椭圆的方程为
. 4分
(2)解法一:①当直线的斜率为0时,则
; 5分
②当直线的斜率不为0时,设
,
,直线
的方程为
,
将代入
,整理得
. 7分
则,
9分
又,
,
所以,
11分
令,则
当时即
时,
;
当时,
或
当且仅当,即
时,
取得最大值. 13分
由①②得,直线的方程为
. 14分
解法二:①当直线垂直于x轴时,则
;
②当直线
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点
,点A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于
轴上方,
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是直角三角PAF的外接圆圆心,求椭圆C上的点到点M的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的右顶点为A(2,0),点P(2e,
)在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(1)求椭圆的方程;
(2)若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足,且
,求实数λ的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点在抛物线
:
上.
(1)若的三个顶点都在抛物线
上,记三边
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,求
的值;
(2)若四边形的四个顶点都在抛物线
上,记四边
,
,
,
所在直线的斜率分别为
,
,
,
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,
为原点.
(1)如图1,点为椭圆
上的一点,
是
的中点,且
,求点
到
轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆
相交于
、
两点,若在椭圆
上存在点
,使四边形
为平行四边形,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆(
)的右焦点为
,离心率为
.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于
,
两点,
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
的离心率为
,过椭圆
右焦点
的直线
与椭圆
交于点
(点
在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知为椭圆
的左顶点,平行于
的直线
与椭圆相交于
两点.判断直线
是否关于直线
对称,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是
.
(1)若椭圆C上一动点满足
,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
,
是椭圆右准线上的一点,线段
的垂直平分线过点
.又直线
:
按向量
平移后的直线是
,直线
:
按向量
平移后的直线是
(其中
)。
(1) 求椭圆的离心率的取值范围。
(2)当离心率最小且
时,求椭圆的方程。
(3)若直线与
相交于(2)中所求得的椭圆内的一点
,且
与这个椭圆交于
、
两点,
与这个椭圆交于
、
两点。求四边形ABCD面积
的取值范围。
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