Question

14．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在区间[a，b]的值域为[a，b]，则称f（x）为“和谐函数”．现有f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“和谐函数”，则k的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． [-$\frac{9}{4}$，+∞）
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]
• D． （-$\frac{9}{4}$，-2）

Answer 1

分析 由“和谐函数”的定义，及函数$f（x）=k+\sqrt{x+2}$的解析式，我们可得函数满足条件（1），即在定义域D内是单调函数，若满足条件（2）则$f（x）=k+\sqrt{x+2}$=x在区间[-2，+∞）上有两个根，利用换元法，可将条件转化为t²-t-（2+k）=0有两个非负根，结合二次方程根与系数的关系，可得关于k的不等式组，进而求出k的范围．

解答 解：∵$f（x）=k+\sqrt{x+2}$在定义域D=[-2，+∞）上为增函数
故满足条件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域为[a，b]，
则$f（x）=k+\sqrt{x+2}$=x在区间[-2，+∞）上有两个根
令t=$\sqrt{x+2}$（t≥0）
则原方程可化为t²-t-（2+k）=0有两个非负根
即$\left\{\begin{array}{l}△=1+4（2+k）＞0\\ 2+k≤0\end{array}\right.$
解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2
故k的范围是$（-\frac{9}{4}，-2]$
故选：C．

点评 本题考查的知识点是单调性的性质，其中正确理解新定义“闭函数”中的两个条件的意义，是解答本题的关键．