Question

4．已知定义在（-3，3）上的函数f（x）满足f（x-1）=-f（1-x），且x≥0时，f（x）=x³，则f（x）+27f（1-x）＞0的解集为（　　）

• A． ∅
• B． （-3，$\frac{1}{2}$）
• C． （-2，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，3）

Answer 1

分析 先令令x=x+1，得到f（x）=-f（-x）即函数f（x）为奇函数，再根据题意得到不等式，根据幂函数的单调性解得即可．

解答 解：∵f（x-1）=-f（1-x），
令x=x+1，
∴f（x）=-f（-x），
∴函数f（x）为奇函数，
∵x≥0时，f（x）=x³，
∴f（x）=x³，x∈（-3，3），
∴f（x）+27f（1-x）=x³+27（1-x）³＞0，
∴x³＞[3（x-1）]³，
∵f（x）=x³为增函数，
∴x＞3（x-1），
∴-3＜x＜$\frac{3}{2}$，
故选：C

点评 本题考查了函数的奇偶性，单调性，不等式的解法，关键是求出函数为奇函数，属于中档题．