Question

14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC-sinAcosB=$\frac{3}{4}$，且B为钝角，求A，B，C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及已知可得$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sinA}{cosA}$，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC-sinAcosB=cosAsinB=$\frac{3}{4}$，由（1）sinB=cosA，可得sin²B=$\frac{3}{4}$，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
∴$\frac{a}{b}$=tanA，
∵由正弦定理：$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$，又tanA=$\frac{sinA}{cosA}$，
∴$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC-sinAcosB=cosAsinB=$\frac{3}{4}$，由（1）sinB=cosA，
∴sin²B=$\frac{3}{4}$，
∵0＜B＜π，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B为钝角，
∴B=$\frac{2π}{3}$，
又∵cosA=sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
综上，A=C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．